本文选自《最后的数学问题》
作者：[美]马里奥•利维奥（Mario Livio）
译者：黄征
畅销世界的数学哲学史经典著作，重装上市
《华盛顿邮报》当年最佳图书，被译为全球8种语言
改编节目《伟大的数学问题》获得艾美奖提名
科学和哲学巨匠们充满智慧的传奇故事，数学、物理、天文学和哲学的恢弘历史画卷
笛卡儿在数学上做出的贡献堪为“人类有史以来在精确科学上迈出的最伟大的一步”。
——约翰·斯图亚特·密尔
在科学领域，文艺复兴见证了天文学中由哥白尼和开普勒开创，并由伽利略发展的日心说理论走向兴盛。
伽利略利用望远镜观察到的结果孕育了对宇宙的新见解，而他的力学实验也展现了非凡的洞察力。与其他因素相比，这才是此后几个世纪里，数学取得极大发展的最关键的动力。
当亚里士多德哲学体系发出即将崩溃的第一个信号时，在与教会神学意识形态做斗争的过程中，哲学家们已经开始着手研究构建人类知识大厦的新地基了。数学似乎是真理确定无疑的表现形式，它为新的开端提供了最完美、最坚实的基础。
在这样一个伟大的历史转折中，有一个人试图找出一种能指导所有理性思考的固定模式，将人类所有的知识、科学成就，乃至人类社会伦理统一为一个整体。他就是法国年轻的政府官员勒内·笛卡儿。
01
一个做梦的人
很多人都认为，在近代所有伟大的哲学家之中，笛卡儿可以当之无愧地排名第一，同时，他也是第一位真正意义上的生物学家。
除了这些功勋赫赫的标签，英国经验主义哲学家约翰·斯图亚特·密尔（John Stuart Mill，1806—1873）甚至将笛卡儿在数学上做出的贡献描述为“人类有史以来在精确科学上迈出的最伟大的一步”。现在，你或许能理解笛卡儿的才能和智慧为什么令后世敬仰了。
图1 笛卡儿
笛卡儿于1596年3月31日出生于法国拉海镇（La Haye）。为了纪念这位著名的数学家，这座小镇在 1801 年被改名为拉海 – 笛卡儿镇，1967 年之后，人们更习惯称之为笛卡儿镇。
1604年，笛卡儿在年仅8岁时被送进了拉弗莱什教会学院学习拉丁文、数学、文学、科学和经院哲学，他在那里一直学习到了1612年。
由于笛卡儿自幼体弱，不能过多地运动，因而被特许不用遵守学院严格的作息时间。他不必每天早晨5点起床，可以在床上度过整个早晨的时光。后来，每天利用清晨的时间进行思考的习惯伴随了笛卡儿一生。
有一次，他对朋友、法国数学家布莱兹·帕斯卡讲到，对他来说，保持身体健康并取得丰硕成果的秘诀就是每天早上睡到自然醒。然而，正如我们之后看到的，这句话竟然一语成谶，成了笛卡儿命运的一个悲剧性预言。
在离开拉弗莱什教会学院之后，笛卡儿又进入了法国普瓦提埃学院学习，并最终以律师的身份毕业。但很明显，他从来没有真正从事过任何法律方面的工作。
出于浮躁不安的心态和对外面世界的向往，笛卡儿决定加入奥兰治亲王莫里斯的军队，当时他们驻扎在荷兰共和国（荷兰的前身）的布雷达。
笛卡儿在布雷达服役期间，发生了一件小事，这个偶然事件成为笛卡儿思想发展过程中的一个标志，具有深远的意义。
传说有一天，笛卡儿在大街上闲逛，突然看到路边立着一块牌子，上面写着一道数学问题，正在征集解决方法。笛卡儿请一位经过的路人把这个问题从荷兰语翻译为拉丁语或法语。
几个小时之后，笛卡儿就成功地解决了这个问题，这让他真正认识到了自己在数学方面的天赋。
而那位笛卡儿从未谋面却为他翻译问题的路人不是别人，正是荷兰数学家和科学家艾萨克·比克曼（Isaac Beeckman，1588—1637），他对笛卡儿的物理数学研究的影响持续了数年之久。
在随后的9年里，笛卡儿要么在混乱的巴黎逗留，要么在各个军队中服役。当时的欧洲正在“三十年战争”（1618 ～ 1648 年）的痛苦中挣扎，战火四起、处处烽烟，不同宗教派别和政治派系之间纷争不休，从布拉格、德国直至特兰西瓦尼亚（今罗马尼亚西北部）到处都有战争。
对于年轻的笛卡儿而言，想要打一仗或加入军队是十分容易的事。尽管如此，在这段时期，他仍然利用战斗的间隙学习数学，正如他后来所说的：“全身心地沉溺于数学学习中。”
1619年11月10日，笛卡儿做了三个梦。这些梦不仅对笛卡儿今后的生活产生了深远的影响，而且，或许也标志着现代文明的开端。在描述这一事件时，笛卡儿在自己的笔记中写道：“我激动万分，并从中发现了一门绝妙科学的基础。”这是怎样的三个影响深远的梦呢？
实际上，这三个梦中的前两个是噩梦。
在第一个梦里，笛卡儿发现自己被狂暴的旋风卷向了空中，风的巨大力量使他不由自主地以左脚为轴快速旋转，与此同时，他随时会从空中摔下来，这让他感到无比恐惧。这时一位老人出现了，递给他一个国外出产的甜瓜。
第二个梦也是一幅十分恐怖的画面，他被抓进了一个阴森森的房间，房间里不时响起霹雳一般巨大的不祥的声音，在他身体周围不断有到处飞溅的火花。
第三个梦与前两个梦形成了鲜明的对比，呈现在笛卡儿面前的是一幅祥和静穆的画面，当他四处环顾时，发现房间里有一张桌子，桌子上有书时隐时现。
这些书包括一部名为《诗人集成》（Corpus Poetarum）的诗歌选集和一部百科全书。他随手打开了那本诗歌选集翻到了其中一页，一眼看到的正是公元 4 世纪罗马诗人奥索尼乌斯（Ausonius）的一首诗。
诗中写道：
“我的生命应当走什么样的道路？”（Quod vitae sectabor iter ？）此时，一个神秘的人从空气中闪现了出来，他引用了另一句诗：“是又不是。”（Est et non.）笛卡儿想给他看看奥索尼乌斯的诗歌，但整本书却消失在了虚空中。
一般情况下，梦境总是似是而非、颠三倒四的，梦的意义并不在于其具体的内容，而在于做梦的人对它的解释。笛卡儿对这三个神秘的梦的解释产生了令人震惊的影响。
他认为，百科全书代表了科学知识的集合，诗集则代表了哲学、启示和热情。“是又不是”就是著名的毕达哥拉斯对立，笛卡儿认为，这代表了真理和虚妄。（大家不必惊奇，一些心理学家甚至认为甜瓜暗示了性。）
笛卡儿绝对确信，这三个梦表明人类的所有知识在理性思想的帮助下可以统一为一体。
1621年，笛卡儿退役了。在随后的 5 年里，他继续四处游历。在旅途中，笛卡儿也没有放弃研究数学。在这段时间里，所有见过笛卡儿的人，包括当年具有巨大影响力的精神领袖红衣主教皮埃尔·德·贝鲁尔（Pierre de Bérulle，1575—1629）都被笛卡儿深刻的见解和清晰的思路深深打动，并为之叹服。
很多人都鼓励笛卡儿继续他的研究，并将他的思想写下来公开出版。对于一个年轻人来说，这种富于智慧的关爱和建议可能会适得其反，就像在电影《毕业生》中对达斯汀·霍夫曼所扮演的角色所说的那句忠告：“塑造自己！”（Plastics ！）
但是笛卡儿不同。他已经把自己的目标定为研究真理，因此他很容易就被说服了。最后，笛卡儿移居荷兰，当时，那里似乎能提供一个更安静的思考环境。在随后的 20 年里，他写出了一本又一本不朽的著作。
1637年，笛卡儿出版了第一本关于科学基础思考的杰作《谈谈方法》，图2展示的是这本书在首版时所使用的扉页。这本著作还有三个值得着重关注的附录，分别关于光学、气象学和几何学。
紧接着，笛卡儿在1641年出版了一本哲学方面的著作《第一哲学沉思集》，1644年又出版了一本物理学专著《哲学原理》。
在出版这几本书以后，笛卡儿的大名传遍整个欧洲，在他的仰慕者和有书信往来的人中，还包括已经被放逐的波希米亚公主伊丽莎白（1618—1680）。
1649年，笛卡儿被邀请访问瑞典，教授瑞典女王克里斯蒂娜（1626—1689）哲学。出于对王室成员的尊敬，笛卡儿接受了邀请。
事实上，笛卡儿在给女王的回信中充满了17世纪所特有的谦卑，以致在今天我们看到这封信时都感觉有点可笑：“我已经做好一切准备以执行女王陛下的任何命令。即便我出生在一个瑞典或芬兰家庭，我对您也不可能比现在有更多的热情，也不可能表现得更完美了。”
那位年仅23岁有着钢铁般意志的瑞典女王坚持要求笛卡儿在早晨5点这个极不适宜的时间给她上课。在北欧这片土地上，清晨实在太过寒冷了。笛卡儿在给朋友的信中写到，在这里甚至连思维也被冻僵了。后来事实证明，这种寒冷对他是致命的。
他说：“我在这里不得其所，很不自在。我只想要宁静和沉思。如果一个人自己不能获得宁静，即使是地球上最有权势的国王也不能赐予他。”在勇敢地面对瑞典长达数月的严酷寒冬和黑暗的早晨之后（对于笛卡儿来说，这样的清晨是他一生都在努力回避的噩梦），笛卡儿最终患上了急性肺炎。
1650年2月11日，就好像试图避开再次被叫醒一样，笛卡儿在凌晨4点钟去世了，享年54岁。这位开辟了现代文明的人，成了自己的谄上心态和一位年轻女王的任性的牺牲品。
图 4-2
笛卡儿被安葬在了瑞典。1667年，他的遗骸（或者说，至少是他遗骸的一部分）被运回了法国。
在那里，笛卡儿的遗骸又被多次转移，一直到1819年2月26日才最终埋葬在圣日耳曼·德佩教堂（Saint Germain des Prés）的一所附属小礼拜堂内（图 3）。据说，笛卡儿的一块头盖骨从瑞典流出后，经过了数人之手，最后被化学家伯齐得乌斯（Berzelius）购得，并带回了法国。
这块头盖骨现存放在法国巴黎人类博物馆的自然科学馆中，经常呈现在穴居人头盖骨的对面。
图3 作者站在笛卡儿极其简朴的黑色纪念碑旁边
02
一个现代人
如果某个人的身上贴上了“现代”这个标签，通常意味着他能非常自如地与20 世纪（现在就是指 21世纪了）的专业人士或同行们进行交流。
笛卡儿可以被称为“现代”人，原因是他敢于质疑自己之前所有哲学和科学中的结论。他曾经说过，他所接受的教育的唯一用处是使他感到更加困惑，以及让他认识到了自己的无知。
在那本伟大的《谈谈方法》一书中，他写道：“关于哲学，我发现，尽管它在人类最聪明的大脑中孕育了几个世纪，但其中的所有观点都存在争议，并因此更加不确定。”
虽然笛卡儿本人的哲学思想同样被后来的哲学家指出存在明显的缺点，但是，笛卡儿这种前所未有的，甚至是对最基本概念的怀疑，确实使他显得十分“现代”。
更重要的是，从笛卡儿现存著作中的观点里可以看出，他认识到数学的方法和推理步骤能精确地得出某种必然结论，而这正是在他之前的经院派哲学所缺乏的。他的观点表达得十分清楚：
“那些由简单容易的推理所组成的长长链条，是几何学家惯于用来完成最困难的证明的工具。这让我有理由推测，所有能被人类理解的知识都能以同样的方式彼此联系。并且我认为，如果我们拒绝接受那些貌似是真理，但并非真理的结论，而且遵守从一个事物演绎到另一事物的正确顺序，那么，没有什么是我们最终触及不到的，或者隐藏得太深以致我们发现不了的。”
在笛卡儿看来，不仅物理宇宙是用数学语言写就的，而且人类的所有知识都遵循数学的逻辑。
用笛卡儿的话说：“它（数学方法）是最强有力的知识工具，比人类能动性赠予我们的其他任何工具都有效，它是万物的根源。”
因此，笛卡儿的一个重要目标就成了如何证明物理世界，对他来说，这个现实是可以用数学语言描述的，可以不用依赖经常误导我们的感性认识来描绘。
他提倡，人类在思维过程中应当过滤掉眼睛所能看到的 ，而将感知转为思考 。
笛卡儿坚持认为：“没有任何确定的标志能够区分已被唤醒，还是仍在沉睡。”
但是，笛卡儿也怀疑，如果我们原以为真实的所有事物其实都不过是一场梦，那么我们怎么能知道，那些真实的事物甚至是地球和天空，不是某些“有无穷力量的恶魔”为我们制造出来的某种“梦幻般的虚妄”？
或者，正如伍迪·艾伦曾经说过的：“如果一切都是幻觉，没什么是真实存在的，那么会发生什么呢？如果是这样，我绝对为我的地毯花了冤枉钱。”
这些疑问在笛卡儿脑海里不断涌现，最终促使他说出了那句最著名的名言：“我思，故我在。”换句话说，在思考的背后，应当存在一种意识心智。也许有点自相矛盾，怀疑这种行为本身却不能被质疑！
笛卡儿试图从这一看起来微不足道的开端构建一个完整、可信的知识体系。
笛卡儿广泛涉猎了哲学、光学、数学、力学、医学、胚胎学、形而上哲学，并在这些学科中都取得了对后世影响颇深的成就。
尽管笛卡儿坚信人类理性思考的能力，他却不相信仅凭逻辑就能揭示真理。在这一点上，笛卡儿得出了在本质上与伽利略相同的结论：“就逻辑而言，三段论及其他大部分认识在我们已知的领域内是很有效的，但是，在探索未知领域时却不见得同样有效。”
而在他大胆尝试彻底改造和重新构建所有学科的基础的过程中，笛卡儿试图利用自己从数学方法中提炼出的规律，确保工作建立在实际、坚实的基础之上。笛卡儿在《探求真理的指导原则》一书中描述了这些严格的指导性规律。
他从那些自己确信不疑的真理（类似欧几里得几何学中的公理）开始；接着，试图把那些错综复杂的问题分解成若干更易于处理的简单问题；然后，从那些最基础的现象开始研究，逐步深入到其内部复杂的本质；最后，重复检查整个过程以确保不会有任何可能的解决方法被忽略。
不用说，即使是通过这种严格的步骤小心翼翼地构建，也不能保证笛卡儿的结论完全正确。事实上，尽管笛卡儿最为人称道的是他在哲学上的巨大突破，但真正让他获得不朽声望的还是他在数学上的成就。
在这里，我将简要介绍他的一个非常简单却闪耀着夺目光芒的数学思想，它被密尔称为“人类有史以来在精确科学上迈出的最伟大的一步”。
03
纽约市地图上的数学问题
让我们看看图4所示的美国纽约市曼哈顿区的地图——这只是整个曼哈顿区的一部分地图。如果你站在34大街和第八大道的拐角处，而你想要找的人站在 59 大街和第五大道的交会处，你肯定会找到他，对吗？这道题恰恰体现了笛卡儿的一种全新几何学方法的精髓。
笛卡儿在《谈谈方法》的一篇 106 页的附录中大体勾勒了这一思想，这篇附录被称为《几何》。你也许很难相信，正是这个看起来十分简单的概念从根本上改变了数学。
笛卡儿用微不足道的事实表明，正如曼哈顿地图所展示的那样，用平面上的一对数就能清晰无误地确定一个点的位置（图5a）。
之后，笛卡儿利用这一事实发展出了一门非常有用的理论——解析几何。为了纪念笛卡儿，这种以两条相交直线组成的参考系被命名为“笛卡儿坐标系”。
传统上，我们把水平线标记为“ x轴”，把垂直线标记为“y轴”，这两条线相交的点被称为“原点”。例如，在图 5a 中所标记的点A ，其横坐标值为 3，纵坐标值为 5，这样一来，点A就可以用一对有序数 (3, 5) 表示了——注意，原点的坐标值被规定为 (0, 0)。
图4
图5
试想一下，如果我们想描绘出平面上距离原点5个单位的所有点，肯定会画出一个以原点为圆心、半径为5个单位的圆（图5b）。
如果在这个圆周上取一个点，其坐标值为 (3, 4)，我们会发现这一坐标值恰好满足32 +42=52。事实上，我们可以很容易地证明（利用毕达哥拉斯定理），这个圆上的所有点的坐标（x,y）都满足X2 +Y2=52。
更进一步地说，在这个平面上，只有这个圆周上的点的坐标值能使等式X2 +Y2=52成立。这就意味着，代数等式X2 +Y2=52可以精确且唯一地表示这个圆。
换句话说，笛卡儿发现了一种能用代数等式表现几何中曲线的方法，反之亦然。如果这种方法仅针对一个简单的圆成立，那乍听上去，这似乎没什么值得激动的。
但事实上，今天我们所能见到的一切曲线图，包括股票市场每周的波动图、过去几个世纪以来北极的气温变化图，或者宇宙的比例图，全部都来自笛卡儿这一天才的思想。
从此以后，代数和几何突然之间不再是两门独立的数学分支了，它们表达了相同的真理。描述一条曲线的数学等式暗含了该曲线所有我们能想象得到的特性，例如所有的欧几里得几何定理。
这还不是全部，笛卡儿进一步提出，不同曲线可以用相同的坐标系来描述，通过找出代表这些曲线的代数表达式构成的方程组的一般解，进而简单地找到这些曲线的交点。
通过这种方法，笛卡儿充分利用代数学自身的优势纠正了传统几何学中那些令他极为厌烦的缺点。
例如，欧几里得将几何中的点定义为不可再分的、没有大小的独立存在体，而笛卡儿使用一对简洁有序的数就能定义平面上的点。在此之后，欧几里得那种模糊的定义方法就永远地过时了。
不过，这种蕴含深刻见解的全新定义方式只是笛卡儿解析几何思想的冰山一角。
笛卡儿还指出，如果坐标点（x,y）中的X和Y这两个数有某种关系，也就是说，X的每一个值都对应着唯一的Y值，那么此时，X和Y就构成了一种函数关系。函数的确无处不在，你在减肥时每天测到的体重值、孩子在每个生日那天测量的身高值，或者汽车在行驶途中车速与油表里程的关系，所有这些数据都能用函数来表示。
函数是现代科学家、统计学家、经济学家真正的“面包和黄油”，须臾不可或缺。
如果多次重复的科学实验或观察最终得出了相同的函数关系，它们就可能被提升到自然规律的地位——这里所谓的规律是指所有自然现象都要遵循的、可用数学描述的行为方式。
例如，牛顿发现了万有引力定律（我会在本章稍后部分详细地讨论）。万有引力定律指出如果两个点上物体之间的距离扩大两倍，那么它们之间的引力效应通常会降低为原来的四分之一。
笛卡儿的思想为用数学系统性地处理几乎所有事物推开了一扇门——“上帝是一位数学家”这一理念的核心意思也不过如此。
从纯数学的角度看，几何和代数这两门数学分支在过去被认为是毫无关联的，但笛卡儿证明了，如果从更高角度分析的话，两者是完全等价的。
通过建立二者之间的等价关系，笛卡儿拓展了数学的研究范围，为进入分析领域铺平了道路，让数学家能轻易地在数学各分支学科之间进行交叉研究。如此一来，不仅各种不同的自然现象都能用数学描述，甚至数学本身也变得更广阔、更丰富、更统一了。
正如伟大的数学家约瑟夫 – 路易·拉格朗日（Joseph – Louis Lagrange，1736— 1813）指出的：“当几何和代数沿着各自的道路独立前进时，它们的进展缓慢，并且应用范围也有很多限制。但是，当这两门科学结合起来以后，它们相互从对方那里汲取了新鲜的活力，相辅相成，并加快步伐迈向了完美。”
笛卡儿用下面这段文字作为《几何》这本著作的结尾：“我希望后世子孙能友善地评价我，不仅针对我所解释的那些事，而且针对我有意遗漏的那些内容，这样一来，其他人才能同样享有发现的乐趣。”（图6）
图6
笛卡儿肯定不会知道，有一个人会把他的数学思想作为科学向前迈进的核心力量，而这个人在他去世那年才8岁，这个人的名字叫牛顿！
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原标题：《笛卡尔：缔造牛顿的伟人，统一代数与几何的“精确”数学家》